1. 研究目的与意义
数学中的最优化思想和方法在现代社会中的应用越来越广泛，它的应用可以涉及工程、农业、经济、交通运输、军事、科研等方方面面。尤其是近几十年来，随着计算机技术的日益成熟与普及，最优化方法与计算机技术相结合更是将其长处发挥得淋漓尽致，它的作用在现代社会的日常生活中越来越不可或缺。在经济领域，最优化方法对于解决生产中的成本最小化、利润最大化、商品的效用最大化等实际问题发挥了巨大的功能。
拉格朗日乘数法在最优化理论中具有举足轻重的地位，所以对于此类方法的研究也很具有现实意义。在实际应用中要解决某一问题，常常由于实际情况的诸多限制而对目标函数的求解附加许多约束条件。拉格朗日乘数法的思想即是在求解目标函数的最优解的过程中引入拉格朗日乘子，将有约束条件的最优化问题转变为无约束条件的自由极值问题。本文拟从线性规划和非线性问题两个方面介绍拉格朗日乘数法，并且列举一些拉格朗日乘数法在经济中的具体应用。
2. 研究内容和预期目标
研究内容:
(1)拉格朗日函数的一阶最优必要条件（即K-T条件）以及二阶充分条件
(2)拉格朗日对偶问题
3. 国内外研究现状
最优化方法历史悠久，最早可以追溯到Newton(1643-1727)、Lagrange(1736-1813)和Cauchy(1789-1857)时代。现代优化方法起源于第一次世界大战时期，而后随着生产力的不断发展，最优化方法逐渐受到人们的重视。1947年，美国数学家Dantzig提出了轰动数学界的单纯形法，为解决高维线性规划问题提供一种有效的工具。1950年至1965年，匈牙利数学家Kuhn和Tucker建立了线性规划的对偶理论，为求鞍点问题提供了方法，并且两人提出的约束极值问题的最优性条件即K-T条件为求解非线性规划问题奠定了基础。自那以来，最优化问题的求解方法日臻完善，特别是借助于计算机编程技术后，其应用范围更是大大拓宽。Stephen Boyd(2004)在他的《凸优化》一书中着重介绍了凸优化的理论方法，Gerard Cornuejols(2006)在他的《金融优化方法》主要介绍了最优化方法在金融中的应用。近年来国内也有不少关于拉格朗日乘数法的推广的论文，如濮定国等(2010)对于约束优化问题提出一类新的结合Fischer-Burmeister非线性互补(NCP)函数的增广拉格朗日函数，张二艳等(2013)基于广义逆矩阵运用拉格朗日乘数法求解约束线性回归问题。拉格朗日乘数法在经济中的应用也有不少研究成果。
4. 计划与进度安排
1.2022年11月选题，并确定指导老师；
2.2022年12月至2022年1月，搜集相关资料，撰写开题报告，并交由导师审核；
3.2022年2月至2022年3月19日，撰写、提交论文初稿，并进行中期检查；
5. 参考文献
[1]辛春元. 拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用[J]. 经济研究导刊，2013，(28):5,74.
[2]白富生. 非线性规划中的精确罚函数[D]. 上海：上海大学，2003.
[3]陈敬华. 拉格朗日乘子法及其推广[J]. 湖北师范学院学报（自然科学版），2010,30(4):108-111.
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